נגזרת חלקית:

• הגדרה:
  • אם f(x,y) שמוגדרת בסביבה (כדור) של ($x_0,y_0$) אז:
    1. נגיד כי "f גזירה ביחס לנק' ($x_0,y_0$)" אם הפונקציה $f(x_0,y_0)$ גזירה ב- $x_0$.
       • באופן מפורש: קיים הגבול הבא:
       • $$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$
       • ולרוב נסמן:
       • $$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$
       • ואז לגבול נקרא "הנגזרת של f(x,y) בנק' $(x_0,y_0)$ ביחס ל - x" ונסמן אותה כך: $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ או $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$
    2. נגיד כי "f(x,y) היא גזירה לפי y בנק $(x_0,y_0)$ " אם הפונ' $f(x_0,y)$ גזירה בנק' $y_0$ . כלומר אם קיים הגבול:
       • $$\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }y}$$
       • ונסמן אותה כ: $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ או $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

דיפרנציאביליות:

• הגדרה:

  • נגיד כי f(x,y) היא דיפרנציאבילית בנק' $(x_0,y_0)$ אם קיימים $A,B\in R$ עבורם:
  • $$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-A(x-x_0)-B(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0$$
  • נטען כי אם קיימים $A,B\in R$ אז:
    • נגיד כי - $A=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$
    • וגם $B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$
    • וגם f(x,y) גזירה לפי x ולפי ב $(x_0,y_0)$

• טענה:

  • אם $f(x,y)$ דיפרנציאבילית ב - $(x_0,y_0)$ אז:
    • הפונקציה גזירה לפי x ולפי y ב $(x_0,y_0)$ ו- $A=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ וגם $B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ .
    • הפונקציה רציפה ב $(x_0,y_0)$.
  • מסקנת ביניים:
    • אם אחת הנגזרות החלקיות של הפונקציה לא קיימת בנקודה אז הפונקציה לא דיפרנציאבילית בנקודה.

• מסקנת ביניים: אם פונקציה לא רציפה בנקודה אז היא לא דיפרנציאבילית בנקודה.

• טענה:

  • אם לפונקציה יש נגזרות חלקיות בסביבת נקודה והנגזרות החלקיות הן רציפות בנקודה אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה.

• המשמעות הגאומטרית של דיפרציאביליות:

  • מישור משיק לגרף הפונקציה בנקודה -> קירוב לינארי.