שבוע 5 - נגזרות חלקיות, דיפרנציאבליות
נגזרת חלקית:
- הגדרה:
- אם f(x,y) שמוגדרת בסביבה (כדור) של (
) אז: - נגיד כי "f גזירה ביחס לנק' (
)" אם הפונקציה גזירה ב- . - באופן מפורש: קיים הגבול הבא:
-
- ולרוב נסמן:
-
- ואז לגבול נקרא "הנגזרת של f(x,y) בנק'
ביחס ל - x" ונסמן אותה כך: או
- נגיד כי "f(x,y) היא גזירה לפי y בנק
" אם הפונ' גזירה בנק' . כלומר אם קיים הגבול: -
- ונסמן אותה כ:
או
-
- נגיד כי "f גזירה ביחס לנק' (
- אם f(x,y) שמוגדרת בסביבה (כדור) של (
דיפרנציאביליות:
-
הגדרה:
- נגיד כי f(x,y) היא דיפרנציאבילית בנק'
אם קיימים עבורם: -
- נטען כי אם קיימים
אז: - נגיד כי -
- וגם
- וגם f(x,y) גזירה לפי x ולפי ב
- נגיד כי -
- נגיד כי f(x,y) היא דיפרנציאבילית בנק'
-
טענה:
- אם
דיפרנציאבילית ב - אז: - הפונקציה גזירה לפי x ולפי y ב
ו- וגם . - הפונקציה רציפה ב
.
- הפונקציה גזירה לפי x ולפי y ב
- מסקנת ביניים:
- אם אחת הנגזרות החלקיות של הפונקציה לא קיימת בנקודה אז הפונקציה לא דיפרנציאבילית בנקודה.
- אם
-
מסקנת ביניים: אם פונקציה לא רציפה בנקודה אז היא לא דיפרנציאבילית בנקודה.
-
טענה:
- אם לפונקציה יש נגזרות חלקיות בסביבת נקודה והנגזרות החלקיות הן רציפות בנקודה אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה.
-
המשמעות הגאומטרית של דיפרציאביליות:
- מישור משיק לגרף הפונקציה בנקודה -> קירוב לינארי.